El Comitè Espanyol de Matemàtiques, CEMat, va promoure a mitjan març la iniciativa «Acció Matemàtica contra el Coronavirus» per a posar a la disposició de les autoritats la capacitat d’anàlisi i de modelització de la comunitat matemàtica espanyola, per si fora útil per a analitzar, comprendre i actuar davant l’emergència que estàvem patint amb la pandèmia COVID-19. El Govern espanyol es va fer ressò de l’oferiment i des de finals de març està rebent prediccions a curt termini de les variables de major interès en l’expansió del virus, tant globals de tota Espanya, com desagregades per comunitats autònomes.
A la iniciativa del CEMat van respondre investigadors de tota Espanya i es va posar en marxa un predictor col·laboratiu per a realitzar prediccions de les variables en un horitzó entre un i set dies. Les prediccions es realitzen a partir de combinacions optimitzades de prediccions de diferents models i algorismes compartits entre tots els col·laboradors, la qual cosa minimitza els errors d’una predicció aïllada. Totes les dades aportades són centralitzats i tractades en el Departament de Computació i Intel·ligència Artificial de la Universitat de la Corunya (https://covid19.citic.udc.es).
La gràfica següent mostra un exemple de la predicció del nombre d’infectats (considerant els positius per qualsevol test) que va efectuar el predictor col·laboratiu i les dades reals.
La nostra aportació a la crida del CEMat va consistir en l’estimació de les variables: infectats, recuperats i morts per la COVID-19 a Espanya, mitjançant un model SIRD (https://vicentmartinez.weebly.com/my-work.html) que havíem tractat en quart curs del grau en Matemàtica Computacional dins de l’assignatura de Modelització Matemàtica. El model SIRD utilitzat considera quatre grups de persones:
Les variables estan relacionades dins d’un sistema no lineal d’equacions diferencials, que no mostrarem per a no alarmar el lector no matemàtic.
Per a ajustar un model SIRD que aproxime els valors coneguts es prenen com a valors de contorn el nombre de susceptibles tant en començar com en acabar l’epidèmia. Òbviament, aquesta última dada no la coneixem quan estem immersos en l’evolució de l’epidèmia, la triem de manera que millor ajusten les dades ja observades.
A continuació mostrem algunes prediccions realitzades amb el nostre model. En la gràfica següent es representen els resultats obtinguts fins al 23 d’abril.
Durant el període (13-23 abril) el Govern d’Espanya reporta un increment en la quantitat de tota classe de tests realitzats, la qual cosa desajusta en gran manera els paràmetres considerats. Seguint el criteri del Govern, nosaltres ens decantem per considerar solament els positius per PCR (tècnica Polymerase Chain Reaction) i modelitzar els infectats que poden obtindre’s amb el test PCR. És convenient matisar que els resultats estan condicionats pel nombre d’anàlisis realitzades, que són els que proporcionen el nombre d’infectats, el nombre d’altes mèdiques (en moltes ocasions els malalts segueixen la convalescència en els seus domicilis a causa de la saturació dels hospitals) i a l’efectivitat dels tractaments.
Una representació més fidedigna del comportament de l’epidèmia és representar a trossos la seua evolució, és a dir, anar canviant els paràmetres a mesura que les condicions van canviant. Si prenent en cada cas els paràmetres que millor s’ajusten als condicionants imposats, es pot observar un comportament global del model adequat. La següent figura mostra l’ajust del model SIRD a trossos (a data 2 de maig) per a representar les variables més importants (infectats actius i morts) considerant els canvis de condicions en l’evolució de l’epidèmia. Pot observar-se que les dades de desfasament (13-23 abril) és quan hi va haver una certa disfunció en les dades oficials subministrades.
Si nomçes s’hagueren considerat els positius per test PCR la modelització hauria sigut correcta. Això ens dona una idea de la importància que té la qualitat de les dades que es consideren. Una dada rellevant és que el nombre de morts tendeix a situar-se al voltant de 38.000 persones. És important recordar que aquesta xifra és una estimació hui dia, la xifra pot disminuir si es milloren els tractaments i pot augmentar si es produeixen rebrots de l’epidèmia.
Els models s’elaboren d’acord amb les dades recollides sota unes determinades condicions que, com hem vist al llarg del desenvolupament de l’epidèmia, són canviants. El nombre d’anàlisi de diagnòstic no són iguals tots els dies, els tractaments a poc a poc resulten més eficaços i les condicions als hospitals han anat millorant. A més, la comptabilitat de les dades porta alguns dies de retard, es comuniquen l’endemà de la seua recollida i el virus té un període d’incubació d’entre deu i quinze dies. Si tenim en compte aquests condicionants, les estimacions realitzades descriuen en gran manera l’evolució de l’epidèmia.
En dies posteriors a la finalització d’aquest estudi és esperable que l’epidèmia vaja remetent, sempre que es mantinguen les mesures d’aïllament i higiene adequades. Un canvi en les condicions podria produir repunts en el nombre d’infectats i l’evolució podria prendre, en data de hui, un camí incert.
Vicente Martínez García, catedràtic de Matemàtica Aplicada de l’UJI